เมทริกซ์

เมทริกซ์ (Matrix) คือ กลุ่มของสมาชิกที่เรียงในแนวนอนเรียกว่า แถว และเรียงในแถวตั้งเรียกว่า หลัก เป็นรูปสี่เหลี่ยมมุมฉาก สมาชิกทั้งหมดอยู่ภายในวงเล็บ [ ] หรือ ( ) และสมาชิกของเมทริกซ์ที่เขียนเป็นแนวนอนเรียกว่า สมาชิกที่อยู่ในแถว (Row) ของเมทริกซ์ สมาชิกของเมทริกซ์ที่เขียนเป็นแนวตั้งหรือแนวดิ่ง เรียกว่าสมาชิกที่อยู่ในหลัก (Column) ของเมทริกซ์

7.1 ความหมายและชนิดของเมทริกซ์

เมทริกซ์ หมายถึง กลุ่มของจำนวนจริงที่นำมาจัดเรียนงกันให้เป็นแถว แต่ละแถวมีจำนวนที่เท่าๆกัน โดยมีวงเล็บเล็ก ( ) หรือวงเลบ็บ [ ] ปิดล้อมไว้ เช่น

โดยทั่วไปแล้วเรามักนิยมใช้อักษร A , B , C , ... แทนเมทริกซ์ และใช้ตัวอักษรพิมพ์เล็ก a , b , c , ... แทนสมาชิกของเมทริกซ์ แต่ถ้าสมาชิกของเมทริกซ์มีจำนวนมาก เราจะใช้อักษรเพียงตัวเดียวแทนสมาชิกและเขียนจำนวนต่อท้ายตัวอักษรดังกล่าวเพื่อบอกตำแหน่ง ในระดับที่ต่ำลงไปเล็กน้อย เช่น

จำนวนที่เขียนตามหลังตัวอักษรนั้นจำทำหน้าที่บ่งบอกถึงตำแหน่งของสมาชิก เช่น
            เป็นสมาชิกในตำแหน่ง แถวที่ 1 หลักที่ 1
           เป็นสมาชิกในตำแหน่ง แถวที่ 3 หลักที่ 1
            เป็นสมาชิกในตำแหน่ง แถวที่ 3 หลักที่ 3
สรุป     หมายถึง สมาชิกในตำแหน่ง แถวที่ i หลักที่ j  พูดกันแบบง่ายก็คือ ตัวเลขตัวหน้า คือ แถว ตัวหลัง คือ หลัก นั่นเอง

         

ถ้าเมทริกซ์ A เป็นเมทริกซ์มิติ  เราสามารถเขียนสัญลักษณ์แทนเมทริกซ์ A ได้ดังนี้

แต่ในการเขียนเช่นนี้ค่อนข้างยืดยาว เราจึงนิยมใช้เขียนเป็น
                                              แทน โดยที่ i (แถว) = 1 , 2 , 3 , .... , m
                                                                           j (หลัก) = 1 , 2 , 3 , .... , n
       หรืออาจจะเขียนให้สั้นกว่านี้ได้อีกดังนี้   ดังนั้น ถ้านักเรียนเห็นสัญลักษณ์นี้ ต้องทราบทันที่ว่า เมทริกซ์ A มีมิติ   และมี เป็นตัวแทนของสมาชิกโดยทั่วไป       

ตัวอย่าง ถ้า  แสดงว่า เมทริกซ์ A มี 2 แถว 2 หลัก

ดังนั้น  

แต่ละจำนวนที่ประกอบขึ้นเป็นเมทริกซ์เรียกว่า สมาชิก (Elements) ของเมทริกซ์

กำหนดให้ a เป็นเมทริกซ์ใดๆ ตำแหน่งสมาชิกของเมทริกซ์ a 

  

  มิติ

ถ้าเมทริกซ์  M1M1  มีสมาชิก mm แถว  และ nn หลัก เราเรียกเมทริกซ์นั้นว่า เมทริกซ์ M1M1 มีมิติ m×nm×n หรือเรียกว่า  เมทริกซ์ M1M1 มีขนาด m×nm×n

พิจารณาเมทริกซ์ M1,M2,M3M1,M2,M3 จากตัวอย่างข้างบนเราจะได้

เมทริกซ์ M1M1  มีมิติ 2×32×3

เมทริกซ์ M2M2  มีมิติ 3×23×2

เมทริกซ์ M3M3  มีมิติ 2×22×2

7.2 ทรานสโพสของเมทริกซ์

ให้ Aเป็นเมทริกซ์มีมิติ m×nm×n เขียนแทนด้วย A=[aij]m×nA=[aij]m×n  ซึ่งทรานโพสของ Aเขียนแทนด้วย AtAt คือ

At=[aij]m×n=[aji]n×mAt=[aij]m×n=[aji]n×m

คือ เมทริกซ์ที่เกิดจากการนำสมาชิกในเมทริกซ์ AA สลับกันระหว่างแถวกับหลัก

ตัวอย่างของเมทริกซ์ทราสโพส

ให้ A=[142536]A=[123456]  และ  B=⎡⎣⎢147258369⎤⎦⎥B=[123456789] ดังนั้น

At=⎡⎣⎢123456⎤⎦⎥At=[142536]     และ    Bt=⎡⎣⎢123456789⎤⎦⎥

7.3 การเท่ากันของเมทริกซ์

บทนิยาม  ให้   และ    A= B   ก็ต่อเมื่อ   ทุก ๆ ค่าของ i และ j

     จากบทนิยาม เป็นการกำหนดว่า เมทริกซ์สองเมทริกซ์จะเท่ากันได้ต้องประกอบด้วยเงื่อไข 2 ข้อ ดังนี้
         (1)  เมทริกซ์ทั้งสองต้องมีมิติเท่ากัน
         (2)  สมาชิกที่อยู่ในตำแหน่งเดียวกันต้องเท่ากัน

ตัวอย่าง   (1)  เพราะว่าเป็นเมทริกซ์  เหมือนกัน และสมาชิ

ในตำแหน่งเดียวกันเท่ากันทุก ๆ ตำแหน่ง

7.4 การบวกและการลบเมทริกซ์

การบวกลบเมทริกซ์

 ในการที่เมทริกซ์ตั้งแต่ 2 เมทริกซ์ขึ้นไปจะนำมาบวกลบกันได้จะต้องมีมิติเดียวกัน หลังจากนั้นให้นำสมาชิกที่อยู่ในตำแหน่งแถว และตำแหน่งสดมภ์ตรงกันมาบวกลบกันได้ ผลลัพธ์ที่ได้ใส่ไว้ที่ตำแหน่งแถว และสดมภ์นั้นของเมทริกซ์ที่เก็บผลลัพธ์ของการบวกและลบ ซึ่งจะมีมิติเท่ากับมิติของเมทริกซ์ที่นำมาบวก ลบกัน

ตัวอย่าง 1   แสดงถึงเมทริกซ์ใดที่สามารถบวก ลบกันได้

               ให้    A =  [1 2 3]     
                       B =

                       C =  [7 8 9]

            จะเห็นว่าเมทริกซ์ที่สามารถบวกลบกันได้นั้น มีเมทริกซ์ A กับ C เท่านั้นเพราะว่าเมทริกซ์ A กับ C มีมิติเดียวกัน คือ 1x3 ซึ่งสัญลักษณ์สำหรับการบวก ลบ คือ + -
                   ดังนั้น

                                    A+C  =  [1 2 3] + [7 8 9]     
                                    A+C  =  [ 1+7  2+8  3+9 ]   

สมาชิกที่อยู่ในตำแหน่งเดียวกัน สามารถ บวกกันได้เช่นสมาชิก 1,7  อยู่ในตำแหน่งเดียวกันคืออยู่ที่แถวที่ 1   และสดมภ์ที่ 1

                                              =  [ 8     10     12 ]

                                     A-C  =  [1 2 3] - [7 8 9]  

                                     A-C  =  [ 1-7  2-8   3-9 ]     

สมาชิกที่อยู่ในตำแหน่งเดียวกัน สามารถ   ลบกันได้
                                              =  [ -6    -6     -6 ]

จากการบวกลบเมทริกซ์ สามารถเขียนเป็นรูปทั่วไปของการบวกลบได้ดังนี้

ให้ A = [aij] และ B = [bij] ที่เป็นเมทริกซ์มิติ mxn  แล้วผลบวกของเมทริกซ์ A กับเมทริกซ์ B เป็น A+B ซึ่งมีค่าเป็น [aij + bij] มิติ mxn ผลลบของเมทริกซ์  A  กับเมทริกซ์ B เป็น A-B ซึ่งมีค่าเป็น [aij - bij]  มิติ mxn

ตัวอย่าง 2 บริษัทแห่งหนึ่งมี 2 สาขา จำหน่ายอะไหล่รถจักรยานยนต์ เช่นหมวกกันน๊อค ซึ่งแต่ละสาขาได้แสดงข้อมูลของการจำหน่ายหมวกกันน๊อค เป็นจำนวนใบต่อวัน แยกตามสีและแบบ ดังนี้

                                   

                                     สาขาที่ 1

                                                    

                                     สาขาที่ 2

                                                   

อยากทราบว่าจำหน่ายหมวกกันน๊อคทั้งหมดของทั้ง 2 สาขา แยกตาม  สีและแบบจำนวนกี่ใบ

วิธีทำ

                  จากข้อมูลสาขาที่ 1 แปลงเป็นเมทริกซ์ได้เป็น

                                                    

                                และสาขาที่ 2 แปลงเป็นเมทริกซ์เป็น

                                                     

                  ดังนั้น

                               ทั้งสองเมทริกซ์ คำนวณหาค่าของผลรวมของเมทริกซ์ได้ดังนี้

                                 +  = 

                                                                                   = 

                 จากผลลัพธ์ที่ได้นำมาแปลงกลับเป็นตารางได้ดังนี้

                                           

7.5 การคูณเมทริกซ์

การคูณเมทริกซ์

บทนิยาม  ให้   และ k เป็นจำนวนจริงใด ๆ จะได้ว่า  

วิธีทำ    

 ตัวอย่าง ให้   จงหา   ,   และ 

                

                

สรุปบลักษณะการคูณจำนวนจริงกับเมทริกซ์

ให้ a , b เป็นจำนวนจริง และ A , B เป็นเมทริกซ์ที่มีมิติ 
1. aA  = Aa
2. (ab)A = a(bA)  =  b(aA)
3. a(A + B) = aA + aB
4. (a +b)A = aA + aB

7.6 ดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์

ดีเทอร์มิแนนท์ของเมตริกซ์ คือ ค่าหรือตัวเลขที่ได้จากการปฏิบัติการภายในสมาชิกของ เมตริกซ์ ซึ่งจะเป็นเมทริกซ์จัตุรัสเท่านั้น คือ จำนวนแถว และหลักเท่ากัน ดีเทอร์มิแนนท์ของ A จะเขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ “det A” หรือ “|A|” 

1. การหาดีเทอร์มิแนนท์ของเมทริกซ์ขนาด 1x1 

ให้ A = [a11] จะได้ det(A) = a11 

เช่น A = [5] จะได้ det A = 5

ให้ A=[aij]n×nA=[aij]n×n ซึ่งเราจะหา A−1A−1 จากสูตร

A−1=1detAadj(A)

A−1=1detAadj⁡(A)
เมื่อ detA≠0ดังนั้น เราจึงสรุปได้ว่าถ้า ในจำนวนจริงนั้น 00 เป็นเพียงค่าเดียวที่ไม่มี เอกลักษณ์การคูณ ( ไม่มี   0−10−1)ส่วนในเมทริกซ์นั้นสมาชิกที่ไม่มีเอกลักษณ์การคูณ อาจมีได้หลายตัว (ทุก ๆ ตัวที่มีค่าดีเทอร์มีนัลต์เป็น 00)

เช่น [0000],[1212],[4836][0000],[1122],[4386] ล้วนแต่ไม่มีเอกลักษณ์การคูณทั้งสิ้น

2. การหาดีเทอร์มิแนนท์ขนาด 2x2

ให้ A=[acbd]A=[abcd] ดีเทอร์มิแนนต์ของ AA ซึ่งเขียนแทนด้วย detAdetA และ |A||A| 

ให้ A=[1324]A=[1234] ดังนั้น   

detA=∣∣∣1324∣∣∣=(1)(4)−(3)(2)=−2detA=|1234|=(1)(4)−(3)(2)=−2

 7.7 อินเวอร์สการคูณของเมทริกซ์

อินเวอร์สการคูณของเมทริกซ์
     คงจำกันได้นะ อินเวอร์สการคูณของจำนวนจริง a คือ จำนวนจริงที่นำมาคูณกับจำนวนจริง a แล้วได้ผลเท่ากับเอกลักษณ์ 1 และเราใช้สัญลักษณ์  แทนอินเวอร์สการคูณของจำนวนจริง a นั่นคือ  
     ในทำนองเดียวกัน อินเวอร์สการคูณของเมทริกซ์ A ก็คือ เมทริกซ์ ซึ่งเมื่อนำมาคูณกับเมทริกซ์ A แล้วจะได้ผลลัพธ์เท่ากับเมทริกซ์เอกลักษณ์ I และเราใช้สัญลักษณ์  แทน อินเวอร์สการคูณของเมทริกซ์ นั่นคือ 
    แต่งเนื่องจาก  กับ  นั้นต้องมีสมบัติการสลับที่สำหรับการคูณ ซึ่งการที่จะเกิดลักษณะนี้ได้  และ  ต้องเป็นเมทริกซ์ที่มีมิติเท่ากัน

    สรุป ถ้านักเรียนต้องการแสดงว่า เมทริกซ์ B เป็นอินเวอร์สของเมทริกซ์ A นักเรียนต้องแสดงให้ได้ว่า AB = BA = I

 ตัวอย่าง  จงแสดงว่า  อินเวอร์สการคูณของเมทริกซ์ คือเมทริกซ์ 

วิธีทำ   หา  AB =   =  =  = I

                BA =   = =  = I

           แสดงว่า  AB = BA = I  ดังนั้น 

 7.8 การแก้ระบบสมการเชิงเส้นด้วยเมทริกซ์

การแก้ระบบสมการเชิงเส้นโดยวิธีนี้จะใช้ได้สะดวกที่สุดเมื่อระบบสมการเชิงเส้นมี 22 ตัวแปรแต่เมื่อระบบสมการเชิงเส้นของเรามีตัวแปรมากกว่า 33ตัวแปร ในบางครั้งการแก้ระบบสมการโดยวิธีนี้ค่อนข้างจะยุ่งยากจึงไม่เป็นที่นิยม

การแก้ระบบสมการเชิงเส้น 22 ตัวแปรโดยการกำจัดตัวแปร